DP之简单题合集

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

C++

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1,0);
        dp[1] = 1;
        if(n > 1){
            dp[2] = 2;
            for(int i = 3; i <= n; i ++){
                dp[i] = dp[i - 1]  + dp[i - 2];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

C++

• 假设数组cost 的长度为 n，则 n 个阶梯分别对应下标 0 到 n−1，楼层顶部对应下标 n，问题等价于计算达到下标 n 的最小花费。

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) { // cost长度 >= 2 下标0,1,...
        vector<int> dp(cost.size() + 1, 0); // dp[i] 代表爬到i层以上上所需的最低花费
        for(int i = 2; i <= cost.size(); i ++){
            dp[i] = min(cost[i - 2] + dp[i - 2], dp[i - 1] + cost[i - 1]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

C++

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 1));
        for(int i = 1 ; i < m; i ++){
            for(int j = 1 ; j < n; j ++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

// DFS : 超时
// class Solution {
// public:
//     int cnt = 0;
//     int uniquePaths(int m, int n) {
//         // vector<vector<int>> visited = (m, vector<int>(n, 0));
//         dfs(m, n, 0, 0);
//         return cnt;
//     }
//     void dfs(int m, int n, int r, int c){
//         if(r < 0 || r > m - 1 || c < 0 || c > n - 1) return;
//         if( r == m - 1 && c == n - 1) cnt ++;
//         dfs(m, n, r + 1, c);
//         dfs(m, n, r, c + 1);
//     }
// };

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

C++

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i ++) dp[i][0] = 1; // 一遇到 obstacleGrid[i][0] = 1 就停下
        for(int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j ++) dp[0][j] = 1; 
        
        for(int i = 1; i < m; i ++){
            for(int j = 1; j < n; j ++){
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp [m - 1][n - 1];
    }
};

343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

C++

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 1);
        for(int i = 2; i <=n ; i ++) {
            for(int j = i - 1; j >= 0; j --) {
                dp[i] = max({dp[i], dp[i - j]* j, j*(i-j)}); // dp[2] = 1, 但2 > dp[2]
                // 所以3=2+1: max(1*1,2*1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

C++

/*
假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)
分别是1为根节点，2为根节点，...，n为根节点，
当1为根节点时，其左子树节点个数为0，右子树节点个数为n-1，同理当2为根节点时，其左子树节点个数为1，右子树节点为n-2，所以可得G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)
*/
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n +1, 0);
        dp[0] = 1; // 方便 G(0)*G(n-1)
        dp[1] =1;
        for(int i = 2; i <=n; i ++) {
            for(int j = 1; j <= i; j ++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};